K60 Pro官方停產 第三方瞬間漲價
雖然沒有官方宣布，但Redmi的一些高管也已經透露了，Redmi K60 Pro已經停產且不會補貨，這一切都是為了即將到來的K60 Ultra鋪路，屬于廠家的正常操作。但有意思的是該機在停產之后
陶哲軒和趙宇飛的學生聯手，給數學界整了個新驚喜：
讓組合數學領域最大難題之一——從無序中證明有序，取得了23年來的重大突破。
這個問題有多難？
用知名華裔數學家、MIT副教授趙宇飛本人的話說，是“我不會建議任何學生去做這個課題”。
有意思的是，這甚至還是個“意外”收獲：
陶哲軒弟子、剛上研究生二年級的James Leng（以下簡稱小冷）原本試圖延續另一位菲爾茲獎得主——蒂莫西·高爾斯的理論研究。
但搞了一年多，他幾乎是“一無所獲”。
就在一籌莫展之時，他遇上了趙宇飛的兩位天才學生——本科期間就聯手發了十幾篇論文的Ashwin Sah（以下簡稱小薩）和Mehtaab Sawhney（以下簡稱索哥）。
三人一碰頭，頓時靈光乍現：小冷這研究思路用到塞邁雷迪定理上，那說不定真能整出點新進展。
幾個月后，都還在攻讀博士學位的三個年輕人真的做到了——
23年首次突破組合數學難題
小冷、小薩和索哥的這項研究，是組合數學領域的一大難題，是對塞邁雷迪定理的進一步研究。
塞邁雷迪定理由2012年阿貝爾獎得主、匈牙利數學家塞邁雷迪·安德烈（Szemerédi Endre，注：匈牙利人的習慣是姓前名后）于1975年證明，其中說到：
若一個整數集A具有正的自然密度，則對任意的正整數k，都可以在A中找出一個包含k項的等差數列。
所謂具有正自然密度，就是當n趨于無窮時，A與1,2,…,n這個數列的交集中元素個數與n的比值大于0。
比較著名的反例就是2,4,8…這樣的等比數列，它們被認為在數軸上“過于稀疏”，不具備正自然數密度。
這個理論的猜想由兩名匈牙利數學家埃爾德什·帕爾（Erd?s Pál）和圖蘭·帕爾（Turán Pál）在1936年提出。
顯然對于k=1和2的情況，這個結論毫無疑問是成立的，k=3的情況則在1953年由英國數學家克勞斯·羅特證明。
到了1969年，塞邁雷迪用組合數學方法證明了k=4的情況，直到最終證明該結論對任意k均成立。
后來，又有數學家利用遍歷理論、傅里葉分析等其他方法證明了這一結論。
這也讓陶哲軒為之感慨，還把該定理的眾多證明稱為“羅塞塔石碑”，因為它們連結了幾個乍看起來完全不同的數學分支。
但總之，塞邁雷迪定理的證明并不是一個終點，而且還開啟了新的討論。
塞邁雷迪定理還有另一種表述形式——
若在正整數1-N中取一個子集，使得對于某一k值，在該子集中找不到長度為k的等差數列；
則當N趨近于無窮時，該子集的大小r_k(N)與N的比值趨近于0。
不過這個比值趨近于0的速度究竟是怎樣的，仍然是一個未知數，也就成了后續這幾十年的研究課題。
前面提到，有人用傅里葉分析方法給出了塞邁雷迪定理的新證明，這個人就是1998年菲爾茲獎得主、英國數學家蒂莫西·高爾斯（Timothy Gowers）。
更重要的是，高爾斯同時給出了r_k(N)與N比值的上界，即該比值下降的速度不會慢于某個特定的函數。
這個函數長這樣：
此后的20多年來，不斷有人針對具體k值，對r(N)的范圍給出了更精確的上界。
比如在2017年，陶哲軒和英國數學家本·格林（Ben Green）一起給出了k=4時的新上界。
然而，對k取任意值的情況一直未有新的進展，直到這次研究的出現。
2022年，正在加州大學洛杉磯分校（UCLA）讀研二的小冷開始研究起了高爾斯的理論。
不過他腦海里的是高爾斯提出的幾個技術問題，并沒有想到塞邁雷迪定理。
一年很快過去，小冷沒有得到任何成果，但他的研究引起了小薩和索哥的注意。
他們意識到，小冷的研究可能有助于在塞邁雷迪定理上取得進一步進展。
于是三位年輕的數學家走到了一起，并在幾個月之內就想出了k=5時更精確的上界。
直到今年，三人又把這一結論推廣到了k為任意取值的情況，成為了23年以來在這個問題上最重大的突破。
證明的核心在于應用了高爾斯U^(k+1)范數的逆定理，這是一個與傅里葉分析相關的高級工具，它提供了一種衡量函數在某種意義上接近于零的方法。
該逆定理也是由三人發現的，用了足足100頁的論文進行闡述。
其中指出，如果一個函數在范數意義上足夠大，那么它必然與某些具有特定結構的序列相關聯，這些序列在數學上被稱為“結構性對象”。
利用這個逆定理，作者們將問題從原始的整數集合，轉移到了具有特定代數結構的nilmanifolds流形上。
通過深入分析這些流形上的nil序列，作者們實現了對這些序列在整數集合上變化的控制。
然后，他們通過對集合進行分解并運用密度增量策略，逐步增加不包含k項等差數列的子集密度，直到達到某一閾值或無法繼續增加。
經過迭代這個過程，作者們證明了存在一個足夠大的子集，其密度遠高于之前的結果，實現了k=5時結論向著更高k值的推廣。
陶哲軒趙宇飛的天才學生們
三位作者中，小冷（James Leng）目前就讀于加州大學洛杉磯分校（UCLA），師從菲爾茲獎得主陶哲軒。
他的主要研究方向是算術組合學、動力系統和傅里葉分析。
而小薩（Ashwin Sah）和索哥（Mehtaab Sawhney）都是MIT副教授趙宇飛的學生。
小薩其人，不可謂不是一位“天才少年”。
他是2016年國際奧林匹克數學競賽（IMO）金牌得主，2018年還獲得過首屆阿里巴巴全球數學競賽銀獎。
剛上大一，小薩就跑去聽了趙宇飛研究生級別的組合數學課。這迅速引起了趙宇飛的注意：
盡管他只是大一的學生，但很顯然，他已經掌握了這門課程。
就在本科期間，小薩已經有20多篇數學論文在手——并且他只用了兩年半時間就從MIT本科畢業了。
其中，還包括在拉姆齊數方面的重大突破：給出了拉姆齊數的新上限，被認為是“使用現有研究線索可以獲得的最佳結果”。
索哥（Mehtaab Sawhney）比小薩高一年級，他同樣在本科期間就參與了趙宇飛的組合數學課程。
打從本科起，索哥和小薩就是彼此的科研搭子，關系密切到索哥主頁列出的70篇論文里，有60篇都帶小薩的名字。
而導師趙宇飛在本科時對他倆的評價就是：
（MIT）的本科生研究有著悠久的歷史和傳統，但在論文的質量和數量上，都達不到Ashwin Sah和Mehtaab Sawhney的水平。
目前，索哥已經率先博士畢業，獲得了哥倫比亞大學的教職，還在今年年初被任命為克萊研究員。
△小薩索哥和趙宇飛合影，圖源：MIT
兩位老友的合作仍在繼續，這也令外界感到期待。他們的導師趙宇飛是這樣說的：
他們的非凡之處在于總能理解極具技術挑戰的事物并加以改進。
很難用語言概括他們的整體成就。
參考鏈接：
[1]https://arxiv.org/abs/2402.17995
[2]https://www.quantamagazine.org/grad-students-find-inevitable-patterns-in-big-sets-of-numbers-20240805/
[3]https://en.wikipedia.org/wiki/Szemer%C3%A9di%27s_theorem
本文鏈接：http://www.tebozhan.com/showinfo-25-106188-0.html數學難題被攻下 23年來首次突破
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